Question

5．把一正方体沿对角面劈开，得一如图几何体，其中B₁C₁=A₁C₁=2，M为A₁B₁的中点，试作出过B₁且与平面AMC₁平行的截面，并计算该截面面积．

Answer 1

分析 取AB的中点N，连接B₁N，CN，利用正方体的性质与平行四边形的性质可得：B₁N∥AM，因此B₁N∥平面AMC₁．进而得到CN∥平面AMC₁，平面B₁CN∥平面AMC₁．因此过B₁且与平面AMC₁平行的截面即为平面B₁CN．利用勾股定理的逆定理与直角三角形的面积计算公式即可得出．

解答 解：取AB的中点N，连接B₁N，CN，
∵四边形ANB₁M是平行四边形，∴B₁N∥AM，又B₁N?平面AMC₁，
AM?平面AMC₁，
∴B₁N∥平面AMC₁．
同理可得：CN∥平面AMC₁，
又B₁N∩CN=N，
∴平面B₁CN∥平面AMC₁．
因此过B₁且与平面AMC₁平行的截面即为平面B₁CN．
B₁C=2$\sqrt{2}$，B₁N=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$．
NC=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}-2×2\sqrt{2}×cos4{5}^{°}}$=$\sqrt{2}$．
∵$N{C}^{2}+{B}_{1}{N}^{2}$=${B}_{1}{C}^{2}$，
∴B₁N⊥NC，
∴截面△B₁CN的面积为S=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正方体的性质与平行四边形的性质、勾股定理与逆定理、线面、面面平行的判定与性质定理，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．