Question

16．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，抛物线C₂：（y-m）²=2px（p＞0），且C₁、C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右焦点．
（1）当AB⊥x轴时，求p，m的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；
（2）若抛物线C₂的焦点在直线AB上，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意知当AB⊥x轴时，直线AB的方程为：x=1，即m=0，从而A（1，$\frac{3}{2}$）或（1，-$\frac{3}{2}$）．因为点A在抛物线上．所以$\frac{9}{4}$=2p，可得此时C₂的焦点坐标，即可判断该焦点是否在直线AB上；
（2）由（1）知直线AB的斜率存在，故可设直线AB的方程为y=k（x-1），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），联立直线方程和抛物线的方程，由根与系数的关系可推导出求出符合条件的k的值，即可得到所求直线方程．

解答 解：（1）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，
所以m=0，直线AB的方程为：x=1，
代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
可得点A的坐标为（1，$\frac{3}{2}$）或（1，-$\frac{3}{2}$）．
因为点A在抛物线上．
所以$\frac{9}{4}$=2p，即p=$\frac{9}{8}$．
即有抛物线的方程为y²=$\frac{9}{4}$x，
此时C₂的焦点坐标为（$\frac{9}{16}$，0），该焦点不在直线AB上；
（2）由（1）知直线AB的斜率存在，
故可设直线AB的方程为y=k（x-1）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，消去y得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0①
设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x₁，x₂是方程①的两根，x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{（y-m）^{2}=2px}\end{array}\right.$，
消去y得（kx-k-m）²=2px．②
因为C₂的焦点F'（$\frac{p}{2}$，m）在直线y=k（x-1）上，
所以m=k（$\frac{p}{2}$-1），即m+k=$\frac{kp}{2}$．代入②有（kx-$\frac{kp}{2}$）²=2px．
即k²x²-p（k²+2）x+$\frac{{k}^{2}{p}^{2}}{4}$=0．③
由于x₁，x₂也是方程③的两根，
所以x₁+x₂=$\frac{p（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$，
从而$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{p（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$，
解得p=$\frac{8{k}^{4}}{（3+4{k}^{2}）（2+{k}^{2}）}$ ④
又AB过C₁，C₂的焦点，
所以|AB|=（x₁+$\frac{p}{2}$）+（x₂+$\frac{p}{2}$）=x₁+x₂+p=2-$\frac{1}{2}$x₁+2-$\frac{1}{2}$x₂，
则p=4-$\frac{3}{2}$（x₁+x₂）=4-$\frac{12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{12+4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$．⑤
由④、⑤式得$\frac{8{k}^{4}}{（3+4{k}^{2}）（2+{k}^{2}）}$=$\frac{12+4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，即k⁴-5k²-6=0．
解得k²=6．于是k=±$\sqrt{6}$．
则直线方程为y=±$\sqrt{6}$（x-1）．

点评 本题考查直线和圆锥轴线的位置关系和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．