Question

15．设函数f（x）=（x²+ax-a）•e^-x（a∈R）．
（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线方程；
（Ⅱ）设g（x）=x²-x-1，若对任意的t∈[0，2]，存在s∈[0，2]使得f（s）≥g（t）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=0时，f′（x）=（-x²+2x）e^-x，由此能求出曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线方程．
（Ⅱ）“对任意的t∈[0，2]，存在s∈[0，2]使得f（s）≥g（t）成立”，
等价于“在区间[0，2]上，f（x）的最大值大于或等于g（x）的最大值”． 求出g（x）在[0，2]上的最大值为g（2）=1．f'（x）=e^-x（x-2）（x+a），令f′（x）=0，得x=2，或x=-a． 由此利用分类讨论思想结合导数性质能求出实数a的值范围．

解答 （共13分）
解：（Ⅰ）当a=0时，∵f（x）=x²e^-x，
∴f′（x）=（-x²+2x）e^-x，…（1分），∴f′（-1）-3e．  …（2分）
又∵f（-1）=e，…（3分）
∴曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线方程为：
y-e=-3e（x+1），即3ex+y+2e=0． …（4分）
（Ⅱ）“对任意的t∈[0，2]，存在s∈[0，2]使得f（s）≥g（t）成立”，
等价于“在区间[0，2]上，f（x）的最大值大于或等于g（x）的最大值”．  …（5分）
∵$g（x）={x^2}-x-1={（x-\frac{1}{2}）^2}-\frac{5}{4}$，
∴g（x）在[0，2]上的最大值为g（2）=1．
f'（x）=（2x+a）•e^-x-（x²+ax-a）•e^-x
=-e^x[x²+（a-2）x-2a]=e^-x（x-2）（x+a），
令f′（x）=0，得x=2，或x=-a．  …（7分）
①当-a＜0，即a＞0时，
f′（x）＞0在[0，2]上恒成立，f（x）在[0，2]上为单调递增函数，
f（x）的最大值为f（2）=（4+a）•$\frac{1}{{e}^{2}}$，
由（4+a）•$\frac{1}{{e}^{2}}$≥1，得a≤e²-4．   …（9分）
②当0＜-a＜2，即-2＜a＜0时，
当x∈（0，-a）时，f′（x）＜0，f（x）为单调递减函数，
当x∈（-a，?2）时，f'（x）＞0，f（x）为单调递增函数．
∴f（x）的最大值为f（0）=-a或f（2）=（4+a）$•\frac{1}{{e}^{2}}$，
由-a≥1，得a≤-1；由（4+a）$•\frac{1}{{e}^{2}}$≥1，得a≤e²-4．
又∵-2＜a＜0，∴-2＜a=1．      …（11分）
③当-a＞2，即a＜-2时，
f′（x）＜0在[0，2]上恒成立，f（x）在[0，2]上为单调递减函数，
f（x）的最大值为f（0）=-a，
由-a≥1，得a≤-1，
又因为a＜-2，所以a＜-2．
综上所述，实数a的值范围是{x|a≤-1或a≥e²-4}．…（13分）

点评 本题考查函数的切线方程、实数的取值范围、导数性质、构造法、导数的几何意义等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．