Question

已知函数f（x）=

1

(1-x)n

，g（x）=aln（x-1），其中n∈N^*，a为常数．
（1）当n=2时，求函数F（x）=f（x）+g（x）的极值；
（2）若对任意的正整数n，当s≥2，x≥2时，f（s）+g（x）≤x-1．求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出F（x）的解析式，根据对数函数的性质，求出其定义域，把n=2代入F（x），利用导数研究函数的极值点；
（2）已知对于任意的正整数n，当s≥2，x≥2时，f（s）+g（x）≤x-1，将其转化为1≤x-1-aln（x-1），即只需x-2-aln（x-1）≥0对x≥2成立，再对a进行讨论，求出a的范围；

解答：解：（1）由已知得函数F（x）的定义域为{x|x＞1}，
当n=2时，F（x）=

1

(1-x)2

+aln（x-1），所以F′（x）=

2-a(1-x)2

(1-x)2

，
①当a＞0时，由F′（x）=0得x₁=1+

2 a

＞1，x₂=1-

2 a

＜1，
此时F′（x）=

-a(x-x1)(x-x2)

(1-x)2

，
当x∈（1，x₁）时，F′（x）＜0，F（x）单调递减；
当x∈（x₁，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；
从而F（x）在x₁=1+

2 a

处取得极小值，极小值为：F（1+

2 a

）=

a

2

（1+ln

2

a

），
②当a≤0时，F′（x）＜0恒成立，所以F（x）无极值．
综上所述，n=2时；
当a＞0时，F（x）在x=1+

2 a

处取得极小值，极小值为F（1+

2 a

）=

a

2

（1+ln

2

a

）
当a≤0时，函数为减函数，F（x）无极值；
（2）当x≥2时，对任意的正整数n，恒有f（s）=

1

(1-s)n

≤1，故对任意的正整数n，当s≥2，x≥2时，
有f（s）+g（x）≤x-1，只需1≤x-1-aln（x-1），即只需x-2-aln（x-1）≥0对x≥2成立，
令h（x）=x-2-aln（x-1），因为h′（x）=1-

a

x-1

=

x-1-a

x-1

（x≥2），又h（2）=0，
所以当x∈[2，+∞）时，h（x）≥h（2），即h（x）当x∈[2，+∞）时最小值为h（2）=0，
①当a≤1，h′（x）=

x-1-a

x-1

≥0，h（x）当x∈[2，+∞）单调递增，结论成立；
②当a＞1时，当x∈[2，1+a），h′（x）＜0，x∈[1+a，+∞），h′（x）≥0，又h（2）=0，
故结论不成立，
综合得a≤1；

点评：此题主要考查利用导数研究函数的极值，解题过程中也用到了分类讨论和转化的思想，考查的知识点比较多，这类综合题，也是高考的热点问题；