Question

2．已知关于x，y的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥x}\\{x+y≤2}\\{2x-y≥k}\end{array}\right.$所表示的平面区域D为三角形区域，则实数k的取值范围是k≤-2或-1≤k≤0．

Answer 1

分析 先求出关于x，y不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥x}\\{x+y≤2}\end{array}\right.$表示的平面区域，再判断不等式2x-y≥k表示的平面区域，通过图象分析直线2x-y-k=0位置在何处时，关于x，y的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥x}\\{x+y≤2}\\{2x-y≥k}\end{array}\right.$表示的平面区域为三角形，就可求出k的范围．

解答 解：关于x，y不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥x}\\{x+y≤2}\end{array}\right.$表示的平面区域为如图三角形ABO：
可知A（1，21），B（2，0）
而不等式2x-y≥k表示直线2x-y-k=0的左下方，
直线2x-y-k=0与y轴交点坐标为（0，-k），
若直线2x-y-k=0与y轴交点在线段OB上（不包括B点，不包括O点），直线2x-y-k=0在l的左上方，或夹在l₁与l₂之间．
或直线2x-y-k=0与直线x+y=2的交点在AB内，
关于x，y的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥x}\\{x+y≤2}\\{2x-y≥k}\end{array}\right.$所表示的平面区域D不为三角形区域．
-k≥2，0≤-k≤2-1，解得：k≤-2或-1≤k≤0．
故答案为：k≤-2或-1≤k≤0．

点评 本题主要考查不等式组表示的平面区域的，是每个不等式表示的平面区域的公共部分．