Question

17．若x²+bx+c＜0的解集为（2，3），解关于x的不等式：x²+abx+ca²＞0（a∈R）

Answer 1

分析 由于x²+bx+c＜0的解集为（2，3），利用根与系数的关系求出b，c的值．x²+abx+ca²＞0化为x²-5ax+6a²＞0即为（x-2a）（x-3a）＞0，分类讨论解得即可．

解答 解：∵不等式x²+bx+c＜0的解集为（2，3），
∴2，3是一元二次方程x²+bx+c=0的两个实数根，
∴2+3=5=-b，2×3=6=c．
∴b=-5，c=6，
∴x²+abx+ca²＞0化为x²-5ax+6a²＞0即为（x-2a）（x-3a）＞0
当a＞0时，2a＜3a，解得x＜2a或x＞3a，故不等式的解集为{x|x＜2a或x＞3a}，
当a=0时，解得x≠0，故不等式的解集为{x|x≠0}．
当a＜0时，2a＞3a，解得x＜3a或x＞2a，故不等式的解集为{x|x＜3a或x＞2a}．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．