Question

9．已知点O是△ABC的外心，a、b、c分别为角A、B、C的对边，2c²-c+b²=0，则$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AO}$的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{1}{4}$，2）
• B． （-$\frac{1}{8}$，0）
• C． （-$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{24}$]
• D． （0，$\frac{1}{3}$）

Answer 1

分析 由b²=c-2c²＞0得出c的范围，用$\overrightarrow{AB}$表示出$\overrightarrow{BC}$，根据向量的数量积定义得出$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AO}$ 关于c的函数，由此求出此函数的值域．

解答 解：如图所示：过O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则D，E分别是AB，AC的中点．
∴$\overrightarrow{BC}•AO$=（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）•$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}$-$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}$=AC•AE-AB•AD=$\frac{{b}^{2}{-c}^{2}}{2}$，
∵2c²-c+b²=0，∴b²=c-2c²＞0，解得0＜c＜$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AO}$=$\frac{c-{3c}^{2}}{2}$=-$\frac{3}{2}$${（c-\frac{1}{6}）}^{2}$+$\frac{1}{24}$，故当c=$\frac{1}{6}$时，$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AO}$ 取得最大值为$\frac{1}{24}$；
当c趋于$\frac{1}{2}$时，$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AO}$ 趋于最小值为-$\frac{1}{8}$，则$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AO}$的取值范围是（-$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{24}$]，
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的数量级运算，二次函数的最值，属于中档题．