Question

4．设f（x，y，z）=sin²（x-y）+sin²（y-z）+sin²（z-x），x，y，z∈R，求f（x，y，z）的最大值．

Answer 1

分析 由三角函数公式配方可得f（x，y，z）=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{4}$[（cos2x+cos2y+cos2z）²+（sin2x+sin2y+sin2z+sin2z）²-3]，由二次函数可得．

解答 解：f（x，y，z）=sin²（x-y）+sin²（y-z）+sin²（z-x）
=$\frac{1}{2}$[1-cos（2x-2y）]+$\frac{1}{2}$[1-cos（2y-2z）]+$\frac{1}{2}$[1-cos（2z-2x）]
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$[cos（2x-2y）+cos（2y-2z）+cos（2z-2x）]
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$（cos2xcos2y+cos2ycos2z+cos2zcos2x+sin2xsin2y+sin2ysin2z+sin2zsin2x）
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{4}$[（cos2x+cos2y+cos2z）²+（sin2x+sin2y+sin2z）²-3]
∴当cos2x+cos2y+cos2z=sin2x+sin2y+sin2z=0时，上式取最大值$\frac{9}{4}$

点评 本题考查三角函数的最值，涉及三角函数公式和配方法，属中档题．