Question

【题目】已知在多面体中，，，，，且平面平面.

（1）设点为线段的中点，试证明平面；

（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

（1）由四边形为平行四边形.∴，再结合平面，即可证明平面；

（2）由空间向量的应用，建立以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴的空间直角坐标系，再求出平面的法向量，平面的法向量，再利用向量夹角公式求解即可.

（1）证明：取的中点，连接，，

∵在中，∴.

∴由平面平面，且交线为得平面.

∵，分别为，的中点，∴，且.

又，，∴，且.

∴四边形为平行四边形.∴，

∴平面.

（2）∵平面，，

∴以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则，，.

∵平面，∴直线与平面所成的角为.

∴.∴.

可取平面的法向量，

设平面的法向量，，，

则，取，则，.∴，

∴，

∴二面角的余弦值为.