Question

10．在△ABC中，cosA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，c=$\sqrt{3}$，a=3$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，进而利用正弦定理可得sinC的值．
（Ⅱ）由sinC=$\frac{1}{3}$，c＜a，利用同角三角函数基本关系式可求cosC，利用两角和的正弦函数公式可求sinB的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为13分）
解：（Ⅰ）∵cosA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，c=$\sqrt{3}$，a=3$\sqrt{2}$．
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴由正弦定理可得：sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{\sqrt{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$．
（Ⅱ）∵sinC=$\frac{1}{3}$，c＜a，C为锐角，
∴cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×\sqrt{3}×$$\frac{5\sqrt{3}}{9}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．