Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足a1= ，2Sn﹣SnSn﹣1=1（n≥2）．
（1）猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明；
（2）设bn= ，n∈N* ， 求bn的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵S1=a1= ，2Sn=SnSn﹣1+1（n≥2），

∴2S2=S2S1+1= S2+1，

∴S2= ；

∴2S3=S3S2+1= S3+1，

∴S3= ；

由S1= ，S2= ，S3= ，可猜想Sn= ；

证明：①当n=1时，S1= ，等式成立；

②假设n=k时，Sk= ，

则n=k+1时，∵2Sk+1=Sk+1Sk+1= Sk+1+1，

∴（2﹣ ）Sk+1=1，

∴Sk+1= = ，

即n=k+1时，等式也成立；

综合①②知，对任意n∈N*，均有Sn=

（2）解：由（1）可知，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ = ，

当n=1时，a1= = 满足上式，

∴an= ，

∴bn= = = ，n∈N*，

设f（n）=x+ ，则有f（x）在（0， ）上为减函数，在（ ，+∞）为增函数，

∵n∈N*，且f（5）=f（6）=11，

∴当n=5或n=6时，bn有最大值

【解析】（1）由S1=a1= ，2Sn=SnSn﹣1+1（n≥2），通过计算可求得S1 ， S2 ， S3；可猜想Sn= ，再利用数学归纳法证明即可．（2）求出bn= ，n∈N*，构造函数f（n）=x+ ，则利用函数的单调性即可求出．
【考点精析】本题主要考查了归纳推理和数学归纳法的定义的相关知识点，需要掌握根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理；数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法才能正确解答此题．