Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是BC₁与B₁C的交点．
（1）求直线AO与直线C₁D₁所成角的余弦值；
（2）求直线AO与平面BCC₁B₁所成角的正弦值；
（2）求二面角D-AC-B₁的正切值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,异面直线及其所成的角,直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：（1）设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，以D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AO与直线C₁D₁所成角的余弦值．
（2）求出平面BCC₁B₁的法向量和

AO

，利用向量法能求出直线AO与平面BCC₁B₁所成角的正弦值．
（3）求出平面ACB₁的法向量和平面ACD的法向量，利用向量法能求出二面角D-AC-B₁的正切值．

解答： 解：（1）设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
以D为原点，建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），O（1，2，1），
C₁（0，2，2），D₁（0，0，2），

AO

=（-1，2，1），

C1D1

=（0，-2，0），
|cos＜

AO

，

C1D1

＞|=|

-4

6 •2

|=

6

3

．
∴直线AO与直线C₁D₁所成角的余弦值为

6

3

．（4分）
（2）∵平面BCC₁B₁的法向量

n

=(0，1，0)，

AO

=（-1，2，1），
设直线AO与平面BCC₁B₁所成角为θ，
sinθ=|cos＜

AO

，

n

＞|=|

2

6

|=

6

3

．
∴直线AO与平面BCC₁B₁所成角的正弦值

6

3

．（8分）
（3）A（2，0，0），C（0，2，0），B₁（2，2，2），

AC

=（-2，2，0），

AB1

=（0，2，2），
设平面ACB₁的法向量

m

=（x，y，z），
则

m • AC =-2x+2y=0 m • AB1 =2y+2z=0

，
取x=1，得

m

=（1，1，-1），
又平面ACD的法向量

p

=（0，0，1），
设二面角D-AC-B₁的平面角为α，α为钝角，
∴cosα=-|cos＜

m

，

p

＞|=-|

-1

3

|=-

3

3

，
∴tanα=-

2

，
∴二面角D-AC-B₁的正切值为-

2

．（14分）

点评：本题考查直线与直线所成角的余弦值的求法，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查二面角的正切值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．