Question

动圆P过点A（0，1）且与直线y=-1相切，O是坐标原点，动圆P的圆心轨迹曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过A作直线L交曲线C于D，E两点，求弦DE的中点M的轨迹方程；
（3）在（2）中求△ODE的重心G的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）根据题意，点P到A（0，1）的距离等于点P到直线y=-1的距离．由此结合抛物线的定义，即可求出轨迹C的方程；
（2）设出D，E，M的坐标，利用点差法求弦DE的中点M的轨迹方程；
（3）设出G与M的坐标，由向量关系把M的坐标用G的坐标表示，代入（2）中的方程得答案．

解答： 解：（1）∵动圆P过定点A（0，1），且与直线y=-1相切，
∴点P到A（0，1）的距离等于点P到直线y=-1的距离．
因此，点P的轨迹是以A（0，1）为焦点、y=-1为准线的抛物线，
设该抛物线方程为x²=2py，可得

p

2

=1，解得p=2，
∴抛物线方程为x²=4y，即为所求轨迹C的方程；
（2）设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），M（x，y）．
则x12=4y1，x22=4y2，两式作差得：（x₁-x₂）（x₁+x₂）=4（y₁-y₂），
即

y1-y2

x1-x2

=

x1+x2

4

，
∴

y-1

x-0

=

2x

4

，整理得：x²=2（y-1）；
（3）设△ODE的重心G（x′，y′），M（x₀，y₀）．
则

OG

=2

GM

，即（x′，y′）=(2x0-2x′，2y0-2y′)，
解得：x0=

3

2

x′，y0=

3

2

y′，代入x²=2（y-1），得(

3

2

x′)2=2(

3

2

y′-1)，
整理得：9（x′）²=12y′-8．

点评：本题考查了抛物线方程的求法，考查了点差法求与中点弦有关的问题，训练了利用代入法求曲线的轨迹方程，是压轴题．