Question

两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y．统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0．065．

（1）将y表示成x的函数；

（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。

Answer 1

（1）；（2）当点到城的距离为时.

【解析】

试题分析：（1）根据实际问题构造数学模型，直径所对的圆周角为直角，进而得到

，进而得到关于的函数；（2）根据（1）得到的关于的函数，利用求导得到原函数在区间内的单调性，进而求得其最小值.

试题解析：（1）如图,由题意知

AC⊥BC,,

其中当时，,所以

所以表示成的函数为.

（2）,,令得

,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数．所以当时, 即当点到城的距离为时, 函数有最小值.

考点：1.数学模型；2.利用导函数求最值.