Question

【题目】已知函数f（x）=ex ， g（x）= x2+x+1，则与f（x），g（x）的图象均相切的直线方程是 ．

Answer 1

【答案】y=x+1
【解析】解：设所求直线l与函数f（x）的图象相切，切点为（t，et），

函数f（x）=ex，导数为f′（x）=ex，

则直线l的方程为y﹣et=et（x﹣t），即y=etx+et（1﹣t），

直线l与函数g（x）的图象相切的充要条件是关于x的方程etx+et（1﹣t）= x2+x+1，

即 x2+（1﹣et）x+1﹣et（1﹣t）=0有两个相等的实数根，

∴△=e2t﹣2et+1﹣2+2et（1﹣t）=0，

化为e2t﹣2tet﹣1=0，

设φ（t）=e2t﹣2tet﹣1，

φ′（t）=2e2t﹣2（t+1）et=2et（et﹣t﹣1），

由h（t）=et﹣t﹣1的导数为h′（t）=et﹣1，

当t＞0时，h（t）递增；当t＜0时，h（t）递减．

可得h（t）≥h（0）=0，

即有φ′（t）≥0，即φ（t）在R上递增，

由φ（0）=0，e2t﹣2tet﹣1=0的解为t=0，

存在唯一一条直线l与函函数f（x）与g（x）的图象均相切，

其方程为y=x+1．

所以答案是：y=x+1．