Question

【题目】已知数列中， ，前项和满足（）．

⑴ 求数列的通项公式；

⑵ 记，求数列的前项和；

⑶ 是否存在整数对（其中， ）满足？若存在，求出所有的满足题意的整数对；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3) ， ， ．

【解析】试题分析： 当时,可得（），而当时，

（），可得到数列是首项为，公比也为的等比数列，从而可求数列的通项公式；

由知，代入，对通项公式进行裂项，即可求得数列的前项和；

要求出所有的满足题意的整数对，根据题目意思表达出关于的表达式，

然后进行讨论。

解析：⑴ 当时， 与相减，

得，即（），

在中，令可得， ，即；

故（），

故数列是首项为，公比也为的等比数列，其通项公式为；

⑵由⑴ 知，

，

则．

⑶，即，

即，

若存在整数对，则必须是整数，其中只能是的因数，

可得时， ； 时， ； 时， ；

综上所有的满足题意得整数对为， ， ．