Question

【题目】设为正项数列的前项和，满足.

（1）求的通项公式；

（2）若不等式对任意正整数都成立，求实数的取值范围；

（3）设（其中是自然对数的底数），求证：.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）证明见解析；

【解析】

（1）根据题中的关系式，利用得出数列是等差数列，可得通项公式；

（2）时，求出的范围，接着证明的此范围对的正整数都成立，首先由，放缩，然后结合二项式定理证明结论；

（3）根据（1）中的结论得到数列的通项公式，求出变形并放缩

，再由当时，放缩裂项相消法求和证明结论.

（1）∵，

∴，

两式相减，得，

即，

∴，

∵为正项数列，∴，

又由，解得或（舍去），

∴.

（2），即，

当时，，

解得且，

下面证明当且时，对任意正整数都成立，

当时，，

∴，

又当时，上式显然成立，

故只要证明对任意正整数都成立即可，

又，

∴实数的取值范围为.

（3）证明：由题得，

∵，

∴.

当时，

，

∴.