Question

【题目】已知抛物线为抛物线的焦点，是过焦点的动弦，是两点在准线上的投影，如图所示，则下列论断正确的个数有（ ）

①以为直径的圆与准线一定相切；

②以为直径的圆与直线一定相切；

③以为直径的圆与轴一定相切；

④以为直径的圆与轴有可能相切

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

设，计算，得到①正确；证明，，计算得到②；计算，且轴得到③正确；假设存在，联立方程方程有解得到④正确，得到答案.

设．

①如图1，分别是的中点，所以，

且，设以为直径的圆的半径为，因为，

所以，所以以为直径的圆与准线相切；

②如图2，，设以为直径的圆的半径为，

则，，

即，故，故

，是的中点，则，由①知，，又，

所以，所以以为直径的圆与直线相切；

③如图3，设以为直径的圆的半径为，分别是的中点，

则，且轴，

所以以为直径的圆与轴相切；

④假设存在以为直径的圆与轴相切，则有，即，

又，联立得，

或，故假设成立，

因此①②③④都正确，

故选：D．