Question

【题目】如图，已知抛物线E：（）与圆O：相交于A，B两点，且.过劣弧上的动点作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线，，相交于点M.

（1）求抛物线E的方程；

（2）求点M到直线距离的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用求得圆心到弦的距离为1，即可求得点的坐标为，将代入抛物线方程可得，问题得解

（2）设，，分别求得与的方程，即可求得点的横、纵坐标为，，联立直线的方程和抛物线方程可得：，，即可得点的横、纵坐标为，，再由点到直线距离公式可得点M到直线的距离为：，，利用其单调性可得：，问题得解

（1），且B在圆上，

所以圆心到弦的距离

由抛物线和圆的对称性可得，

代入抛物线可得，解得，

∴抛物线E的方程为；

（2）设，，

由，可得，

∴，

则的方程为：，即——①，

同理的方程为：——②，

联立①②解得，，

又直线与圆切于点，

易得方程为，其中，满足，，

联立，化简得，

∴，，

设，则，，

∴点M到直线的距离为：

，

易知d关于单调递减，，

即点M到直线距离的最大值为.