Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是线段AC的中点．
（1）判断直线B₁P与平面A₁C₁D的位置关系并证明；
（2）若F是CD的中点，AB=BC=1，且四面体A₁C₁DF体积为

2

12

，求三棱锥F-A₁C₁D的高．

Answer 1

分析：（1）B₁P∥平面A₁C₁D．连接AB₁与B₁C，由题设条件知：四边形AA₁C₁C是平行四边形，由此能够证明B₁P∥平面A₁C₁D．
（2）设DD₁=a，F到平面A₁C₁D的距离为h，由VF-A1DC1=VA1-DFC1，得a=

2

，由此能够求出点F到平面A₁C₁D的距离．

解答：解：（1）B₁P∥平面A₁C₁D．
证明：连接AB₁与B₁C，
由题设条件知：四边形AA₁C₁C是平行四边形，
∴A₁C₁∥AC，同理A₁D∥B₁C，

∵AB₁∩B₁C=B₁，
∴平面ACB₁∥平面A₁C₁D，
∴B₁P∥平面A₁C₁D．
（2）设DD₁=a，F到平面A₁C₁D的距离为h，
由VF-A1DC1=VA1-DFC1=

1

3

AD•S△C1DF=

1

3

×1×

a

4

=

2

12

，
a=

2

，
作DN⊥A₁C₁于N，
∵A₁C₁=

2

，C1D=

1+a2

，
∴DN=

1+a2- 1 2

=

1+a2- 1 2

=

1 2 +a2

=

5 2

，
由VF-A1DC1=

h

3

•S△A1DC1=

h

3

×

1

2

×

2

×

5 2

=

2

12

，
∴h=

10

10

，
∴点F到平面A₁C₁D的距离是

10

10

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查点到平面的距离的求法．解题时要认真审题，仔细解答，合理地化空间问题为平面问题．