Question

19、如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，点P为DD₁的中点．
（1）求证：直线BD₁∥平面PAC；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDD₁；
（3）求证：直线PB₁⊥平面PAC．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位线的性质证明PO∥BD₁，进而得到线BD₁∥平面PAC．
（2）由底面ABCD是正方形，则AC⊥BD，再由DD₁⊥AC，得到AC⊥面BDD₁，这样在平面PAC内找到了2条直线和平面BDD₁垂直，问题得证．
（3）△PB₁C中，先求出三边的长度，使用勾股定理可得PB₁⊥PC，同理可证PB₁⊥PA，这样，PB₁垂直于平面PAC的2条相交直线，所以直线PB₁⊥平面PAC．

解答：解：（1）设AC和BD交于点O，连PO，
由P，O分别是DD₁，BD的中点，故PO∥BD₁，
所以直线BD₁∥平面PAC．
（2）长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，
底面ABCD是正方形，则AC⊥BD
又DD₁⊥面ABCD，则DD₁⊥AC，
所以AC⊥面BDD₁，则平面PAC⊥平面BDD₁
（3）PC²=2，PB₁²=3，B₁C²=5，所以△PB₁C是直角三角形．PB₁⊥PC，
同理PB₁⊥PA，所以直线PB₁⊥平面PAC．（12分）

点评：本题考查直线和平面平行的证法，2个平面垂直的证法，以及直线和平面垂直的证法．