Question

16．点A，B分别为圆M：x²+（y-3）²=1与圆N：（x-3）²+（y-8）²=4上的动点，点C在直线x+y=0上运动，则|AC|+|BC|的最小值为7．

Answer 1

分析 根据题意，算出圆M关于直线l对称的圆M'方程为（x+3）²+y²=1．当点P位于线段NM'上时，线段AB的长就是|AC|+|BC|的最小值，由此结合对称的知识与两点间的距离公式加以计算，即可得出|AC|+|BC|的最小值．

解答 解：设圆C'是圆M：x²+（y-3）²=1关于直线x+y=0对称的圆
可得M'（-3，0），圆M'方程为（x+3）²+y²=1，
可得当点P位于线段NM'上时，线段AB长是圆N与圆M'上两个动点之间的距离最小值，
此时|AC|+|BC|的最小值为AB，
N（3，8），圆的半径R=2，
∵|NM'|=$\sqrt{（-3-3）^{2}+{8}^{2}}$=10，
可得|AB|=|NM'|-R-r=10-2-1=7
因此|AC|+|BC|的最小值为7，
故答案为7．

点评 本题给出直线l与两个定圆，求圆上两个点A、B与直线l上动点P的距离之和的最小值，着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．