Question

7．设{a_n}是等比数列，公比q=2，S_n为{a_n}的前n项和，记T_n=$\frac{17{S}_{n}-{S}_{2n}}{{a}_{n+1}}$，（n∈N^*），设T${\;}_{{n}_{0}}$为数列{T_n}的最大项，则n₀=（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 首先用公比q和a₁分别表示出S_n和S_2n，代入T_n易得到T_n的表达式，再根据基本不等式得出n．

解答 解：设等比数列的首项为a₁，则a_n=a₁2^n-1，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{2}^{n}）}{1-2}={a}_{1}（{2}^{n}-1）$，
∴T_n=$\frac{17{S}_{n}-{S}_{2n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{17{a}_{1}（{2}^{n}-1）-{a}_{1}（{2}^{2n}-1）}{{a}_{1}{2}^{n}}$=$\frac{17×{2}^{n}-{2}^{2n}-16}{{2}^{n}}$
=17-（${2}^{n}+\frac{16}{{2}^{n}}$）≤$17-2\sqrt{{2}^{n}•\frac{16}{{2}^{n}}}=9$．
当且仅当${2}^{n}=\frac{16}{{2}^{n}}$，即n=2时上式等号成立．
∴n₀=2．
故选：A．

点评 本题考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题．