Question

【题目】如图，正方形所在平面与等腰梯形所在平面互相垂直，已知，，.

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

(1)分别证明BD垂直DE和AD,结合直线与平面垂直判定,即可.(2)建立坐标系,分别计算两个平面的法向量,结合向量数量积公式,即可.

证明：（1）因为平面平面，平面平面，

，所以平面，

所以.

在中，，，

由余弦定理可得，所以，

所以，即，

又因为平面，平面，，

所以平面，

又因为平面，所以平面平面.

（2）因为四边形是等腰梯形，，

又由（1）知，所以，所以.

以为坐标原点，分别以，，所在直线作为轴，轴，轴建立如图所示的坐标系，

设，则，可得，，

由，，可得，，

由此可得，，，

设平面的法向量为，则，

可得，

令，则，，所以，

由（1）知，，，所以是平面的一个法向量.

.

所以所求锐二面角的余弦值为.