Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，边长为2，∠BCD=60°，点E为PB的中点，四边形ABCD的两对角线交点为F．
（1）求证：PD∥平面EAC；
（2）求证：AC⊥DE；
（3）若EF=

3

，求点D到平面PBC的距离．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接EF，证明PD∥EF，利用直线与平面平行的判定定理证明PD∥面AEC．
（2）先根据条件得到AC⊥BD结合PD⊥平面ABCD，推得AC⊥平面PBD进而得到结论；
（3）设点D到平面PBC的距离为h，由V_P-BCD=V_D-BCP，利用等积法可得：D到平面PBC的距离．

解答： 证明：（1）连接EF，
因为F，E分别是BD，PB的中点，
，所以PD∥EF，
而PD?面AEC，EF?面AEC，
所以PD∥面AEC；

（2）连接DE．
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．
又因为PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
所以PD⊥AC．
而PD∩BD=F，
所以AC⊥平面PBD．又DE?平面PBD，
所以AC⊥DE．
（3）设点D到平面PBC的距离为h．
由PD∥EF，EF是△PBD的中位线，
则EF=

1

2

PD=

3

，故PD=2

3

，
故△BCD的面积S_△BCD=

3

4

×22=

3

，
∵PD⊥平面ABCD，
故V_P-BCD=

1

3

S_△BCD•PD=

1

3

×

3

×2

3

=2，
又∵V_P-BCD=V_D-BCP=

1

3

S_△BCP•h，
由已知易得PC=PB=4，S_△BCP=

1

2

×2×

15

=

15

，
即

15

3

h=2，
解得h=

2 15

5

，
故D到平面PBC的距离为

2 15

5

．

点评：本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直的判定及性质，点到平面的距离问题，考查空间想象能力．