Question

已知a₁=

1

2

，且S_n=n²a_n（n∈N^*）
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜测{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明之．

Answer 1

分析：（1）利用数列的前n项和与第n项的关系，得到关于数列的递推关系式，即可求得此数列的前几项．
（2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设当n=k+1时，有a_k=

1

k(k+1)

，利用此假设证明当n=k+1时，结论也成立即可．

解答：解：∵S_n=n²a_n，∴a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）²a_n+1-n²a_n
∴an+1=

n

n+2

an
∴（1）a₂=

1

6

，a₃=

1

12

，a₄=

1

20

（2）猜测a_n=

1

n(n+1)

；下面用数学归纳法证
①当n=1时，结论显然成立．
②假设当n=k时结论成立，即a_k=

1

k(k+1)

则当n=k+1时，ak+1=

k

k+2

ak=

k

k+2

×

1

k(k+1)

=

1

(k+1)(k+2)

故当n=k+1时结论也成立．
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有a_n=

1

n(n+1)

．

点评：本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式
设P（n）是关于自然数n的命题，若
1°P（n₀）成立（奠基）
2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立