Question

在直角坐标系xOy中，射线OA、OB关于x轴对称，且∠AOB=60°，在射线OA、OB上分别有动点P、Q满足：S_△POQ=9，设△POQ的重心为G．
（1）求G点的轨迹方程；
（2）点G到直线PQ距离的最大值是多少？

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出P，Q的坐标，可得G的坐标，利用_△POQ=9，即可求G点的轨迹方程；
（2）取最大值时，a=b=

12 3

，即可求出点G到直线PQ距离的最大值．

解答： 解：（1）设P（acos30°，asin30°），Q（bcos（-30°），bsin（-30°））．
即P（

3

2

a，

1

2

a），Q（

3

2

b，-

1

2

b）（a＞0，b＞0）
设G（x，y），则x=

1

3

•

3

2

（a+b）且y=

1

3

•

1

2

（a-b），
∴a=

3

x+3y，b=

3

x-3y．
又S_△POQ=

1

2

absin60°=

3

4

ab=9，即ab=12

3

，
∴3x²-9y²=12

3

，x≥2

4	3

；
（2）由题意，取最大值时，a=b=

12 3

，
直线PQ的方程为x=3

4	3

，d_max=3

4	3

-2

4	3

=

4	3

．

点评：本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．