Question

已知经过点P（0，2），且与椭圆C：

x2

4

+

y2

2

=1相切的直线有两条，分别为m，n．
（1）求直线m，n的方程；
（2）设直线m，n与椭圆C的两切点分别为C、D（其中C在y轴左侧，D在y轴右侧），分别过C、D两点作相应切线的垂线l₁、l₂，且l₁∩l₂=A，椭圆的左右焦点分别为F₁、F₂，求

F1A

•

F2A

的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设直线方程为y=kx+2，代入椭圆C：

x2

4

+

y2

2

=1，消去y，利用△=0，即可求直线m，n的方程；
（2）求出l₁、l₂，分别为y=

2

x+3，y=-

2

x+3，可得A的坐标，即可求

F1A

•

F2A

的值．

解答： 解：（1）设直线方程为y=kx+2，代入椭圆C：

x2

4

+

y2

2

=1，
消去y可得：（2+4k²）x²+16kx+8=0，
∴△=（16k）²-32（2+4k²）=0，
∴k=±

2

2

，
∴直线m，n的方程为y=±

2

2

x+2；
（2）由（1）知C（-

2

，1），D（

2

，1），则
l₁、l₂，分别为y=

2

x+3，y=-

2

x+3，
∵l₁∩l₂=A，
∴A（0，3），
∵F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0），
∴

F1A

•

F2A

=（

2

，3）•（-

2

，3）=7．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．