Question

新余到吉安相距120千米，汽车从新余匀速行驶到吉安，速度不超过120km/h，已知汽车每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分两部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元，
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数；并求出当a=50，b=

1

200

时，汽车应以多大速度行驶，才能使得全程运输成本最小；
（2）随着汽车的折旧，运输成本会发生一些变化，那么当a=

169

2

，b=

1

200

，此时汽车的速度应调整为多大，才会使得运输成本最小．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由题意知，汽车从新余匀速到吉安所用时间为

120

v

，全程成本为y=（bv²+a）•

120

v

=120（bv+

a

v

），v∈（0，120]；代入a=50，b=

1

200

，利用基本不等式求解；
（2）注意到y=120（

1

200

v+

169

2v

）时，利用基本不等式取不到等号，故转而应用函数的单调性求最值．

解答： 解：（1）由题意知，汽车从新余匀速到吉安所用时间为

120

v

，
全程成本为y=（bv²+a）•

120

v

=120（bv+

a

v

），v∈（0，120]；
当a=50，b=

1

200

时，
y=120（

1

200

v+

50

v

）≥240•

1 200 v• 50 v

=120（当且仅当v=100时取等号）．
所以汽车应以100km/h的速度行驶，能使得全程运输成本最小． 
（2）当a=

169

2

，b=

1

200

时，y=120（

1

200

v+

169

2v

），
由双勾函数的单调性可知v=120时，y有最小值．
所以汽车应以120km/h的速度行驶，才能使得全程运输成本最小．

点评：本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．