Question

4．直角△ABC中，A＜C，且cos（A-C）=sinC，则sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意分析可得，角B为直角，可得A+C=$\frac{π}{2}$，再由cos（A-C）=sinC，得2C-A=$\frac{π}{2}$，联立求得C得答案．

解答 解：在直角△ABC中，A＜C，
若C为直角，则由cos（A-C）=sinC，得cos（A-$\frac{π}{2}$）=1，
得sinA=1，A=$\frac{π}{2}$，矛盾；
∴B=$\frac{π}{2}$，则A+C=$\frac{π}{2}$，又cos（A-C）=sinC，得cos（C-A）=sinC，
得C+（C-A）=2C-A=$\frac{π}{2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{A+C=\frac{π}{2}}\\{2C-A=\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，解得C=$\frac{π}{3}$．
∴sinC=sin$\frac{π}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．