Question

10．定义在R上的奇函数f（x）对任意x₁，x₂（x₁≠x₂）都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$，若实数m，n满足f（m²+4m+12）+f（n²-6n）＜0，则|m-2n-4|的取值范围为（　　）

• A． $[\frac{{12\sqrt{5}}}{5}-1，\frac{{12\sqrt{5}}}{5}+1]$
• B． $（\frac{{12\sqrt{5}}}{5}-1，\frac{{12\sqrt{5}}}{5}+1）$
• C． $[12-\sqrt{5}，12+\sqrt{5}]$
• D． $（12-\sqrt{5}，12+\sqrt{5}）$

Answer 1

分析 由题意可得函数f（x）为增函数，即f（m²+4m+12）＜f（6n-n²），m²+4m+12＜6n-n²，即 （m+2）²+（n-3）²＜1．由于|m-2n-4|表示点（m，n）到直线x-2y-4=0的距离再乘以$\sqrt{5}$，故求出圆心到直线x-2y-4=0的距离，可得|m-2n-4|的取值范围．

解答 解：∵定义在R上的奇函数f（x）对任意x₁，x₂（x₁≠x₂）都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$，∴函数f（x）为增函数．
实数m，n满足f（m²+4m+12）+f（n²-6n）＜0，即f（m²+4m+12）＜-f（n²-6n）=f（6n-n²），
∴m²+4m+12＜6n-n²，即m²+n²+4m-6n+12＜0，即 （m+2）²+（n-3）²＜1，
故点（m，n）在以点A（-2，3）为圆心，半径等于1的圆的内部．
点（m，n）到直线x-2y-4=0的距离为$\frac{|m-2n-4|}{\sqrt{5}}$，故|m-2n-4|表示点（m，n）到直线x-2y-4=0的距离再乘以$\sqrt{5}$．
由于圆心A（-2，3）到直线x-2y-4=0的距离为d=$\frac{|-2-6-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
故$\frac{12\sqrt{5}}{5}$-1＜$\frac{|m-2n-4|}{\sqrt{5}}$＜$\frac{12\sqrt{5}}{5}$+1，∴12-$\sqrt{5}$＜|m-2n-4|＜12+$\sqrt{5}$，
故选：D．

点评 本题主要考查函数的单调性，直线和圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式，属于中档题．