Question

已知， ，，其中e是无理数且e="2.71828" ，.
（1）若，求的单调区间与极值；
（2）求证：在（1）的条件下，；
（3）是否存在实数a，使的最小值是？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，e），的极小值为;（2）证明见解析；（3）存在实数，使得在上的最小值为-1．理由见解析.

试题分析：（1）将代入后对函数求导，可得，令，可解得函数的单调区间，从而判断出极值; (2) 构造函数，由知，故不等式成立；（3）假设存在实数a，使（）有最小值-1,,对进行讨论，注意，当时，，无最小值；当时，，得；当时，，，得（舍去）,存在实数，使得在上的最小值为-1．
解：（1）当a=1时，，，         （1分）
令，得x=1.
当时，，此时单调递减；                       （2分）
当时，，此时单调递增．          （3分）
所以的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，e），的极小值为        （4分）
（2）由（1）知在上的最小值为1．（5分）
令，，所以．（6分）
当时，，在上单调递增，                   （7分）
所以.
故在（1）的条件下，．（8分）
（3）假设存在实数a，使（）有最小值-1．
因为，                                      （9分）
①当时，，在上单调递增，此时无最小值； （10分）
②当时，当时，，故在（0，a）单调递减；当时，，故在（a，e）单调递增；                           （11分）
所以，得，满足条件；          （12分）
③当时，因为，所以，故在上单调递减.
，得（舍去）；                （13分）
综上，存在实数，使得在上的最小值为-1．（14分）