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已知函数,曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为
(1)求
(2)证明:当时,曲线与直线只有一个交点.
(1);(2)详见解析.

试题分析:(1),由导数的几何意义得,故切线方程为,将点代入求;(2)曲线与直线只有一个交点转化为函数有且只有零点.一般思路往往利用导数求函数的单调区间和极值点,从而判断函数大致图象,再说明与轴只有一个交点.本题首先入手点为,当时,,且,所以有唯一实根.只需说明当时无根即可,因为,故只需说明,进而转化为求函数的最小值问题处理.
(1).曲线在点处的切线方程为.由题设得,,所以
(2)由(1)得,.设.由题设得.当时,单调递增,,所以有唯一实根.当时,令,则单调递减;在单调递增.所以.所以没有实根,综上,上有唯一实根,即曲线与直线只有一个交点.
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