Question

如图⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于点N，过点N的切线交CA的延长线于P.
（1）求证：;
（2）若⊙O的半径为，OA=OM,求MN的长.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）2．

解析试题分析：
解题思路：（1）利用等腰三角形与切割线定理进行证明；（2）利用三角形的相似性进行求解.
规律总结：直线与圆的位置关系，是平面几何问题的常见题型，常考知识由：圆内接四边形、切割线定理、相似三角形、全等三角形等.
试题解析：（1）连结ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，
则∠OBN=∠ONB，∵∠PMN=∠OMB=90⁰-∠OBN，∠PNM=90⁰-∠ONB
∴∠PMN=∠PNM, ∴PM=PN                      
由条件，根据切割线定理，有
所以                          
（2）OM=2，在Rt△BOM中，
延长BO交⊙O于点D，连接DN
由条件易知△BOM∽△BND，于是
即，得BN=6                           
所以MN=BN-BM=6-4=2.
考点：1.切割线定理；2.相似三角形.