Question

将凸n边形A₁A₂…A_n的边与对角线染上红、蓝两色之一，使得没有三边均为蓝色的三角形．对k=1，2，…，n，记b_k由顶点A_k出的蓝色边的条数，求证：b₁+b₂+…b_n≤

n2

2

．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：综合题,推理和证明

分析：不妨设b=max{b₁，b₂，…，b_n}，并且由点A向A₁，A₂，…，A_b，引出b条蓝色边，则A₁，A₂，…，A_b之间无蓝色边，A₁，A₂，…，A_b以外的n-b个点，每点至多引出b条蓝色边，可得蓝色边总数，利用基本不等式，即可得证．

解答： 证明：不妨设b=max{b₁，b₂，…，b_n}，
并且由点A向A₁，A₂，…，A_b，引出b条蓝色边，则A₁，A₂，…，A_b之间无蓝色边，A₁，A₂，…，A_b以外的n-b个点，每点至多引出b条蓝色边，
因此蓝色边总数≤（n-b）b≤[

(n-b)+b

2

]2=

n2

4

，
故b₁+b₂+…b_n≤2×

n2

4

=

n2

2

．命题得证．

点评：本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，考查基本不等式的运用，属于中档题．