Question

已知抛物线C：y²=12x，点M（a，0），过M的直线l交抛物线C于A，B两点．
（Ⅰ）若a=1，抛物线C的焦点与AB中点的连线垂直于x轴，求直线l的方程；
（Ⅱ）设a为小于零的常数，点A关于x轴的对称点为A′，求证：直线A′B过定点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,恒过定点的直线,与直线关于点、直线对称的直线方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设过点M（1，0）的直线l的方程为y=k（x-1），代入抛物线方程，消去y，利用F与AB中点的连线垂直于x轴，结合韦达定理，求出k，即可求直线l的方程；
（Ⅱ）因为点A关于x轴的对称点为A′，所以A′（x₁，-y₁），直线A′B：y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)，利用韦达定理，结合抛物线方程，即可证明结论．

解答： （Ⅰ）解：由已知，抛物线C：y²=12x，的焦点坐标为F（3，0）．…（1分）
设过点M（1，0）的直线l的方程为y=k（x-1），
代入抛物线方程，消去y可得k²x²-（2k²+12）x+k²=0．…（2分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

2k2+12

k2

．…（3分）
因为F与AB中点的连线垂直于x轴，所以

x1+x2

2

=3，即

k2+6

k2

=3．…（4分）
解得k=±

3

，．…（5分）
所以，直线l的方程为y=±

3

（x-1）．…（6分）
（Ⅱ）证明：设直线l的方程为y=（x-a）．
代入抛物线方程，消去y可得k²x²-（2ak²+12）x+a²k²=0，…（7分）
则k²≠0，且△=48ak²+144＞0，即k≠0，且ak²+3＞0．
x₁+x₂=

2ak2+12

k2

，x₁x₂=a²．…（8分）
因为点A关于x轴的对称点为A′，所以A′（x₁，-y₁），直线A′B：y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)，
又y₁²=12x₁，y₂²=12x₂，所以y=

12

y2-y1

(x-x2)+y2，…（10分）
所以y=

12

y2-y1

x-

y1y2

y2-y1

．…（11分）
因为y₁²y₂²=144x₁x₂=144a²，又y₁，y₂同号，a＜0，
所以y₁y₂=-12a，…（12分）
所以直线直线A′B的方程为y=

12

y2-y1

(x+a)，…（13分）
所以，直线直线A′B恒过定点（-a，0）．…（14分）

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线方程的求解，考查学生的计算能力，属于中档题．