Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ） (ω＞0，0＜φ＜

2π

3

)的最小正周期为π，
（1）求当f（x）为偶函数时φ的值；
（2）若f（x）的图象过点（

π

6

，

3

2

），求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数的周期性及其求法

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）依题意知T=π，ω=2，当f（x）=sin（2x+φ）为偶函数时，φ=kπ+

π

2

（k∈Z），又0＜φ＜

2π

3

，于是可求得φ的值；
（2）由f（

π

6

）=sin（

π

3

+φ）=

3

2

及0＜φ＜

2π

3

可求得φ=

π

3

，从而可求得f（x）的单调递增区间．

解答： 解：（1）∵T=π，
∴ω=

2π

T

=2，
∴f（x）=sin（2x+φ），
∴当f（x）=sin（2x+φ）为偶函数时，
φ=kπ+

π

2

（k∈Z），又0＜φ＜

2π

3

，
∴φ=

π

2

；
（2）∵f（

π

6

）=sin（

π

3

+φ）=

3

2

，
又0＜φ＜

2π

3

，
∴

π

3

＜φ+

π

3

＜π，
∴φ+

π

3

=

2π

3

，
解得φ=

π

3

，
∴f（x）=sin（2x+

π

3

）；
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z）．
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）．

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查正弦函数的单调性，（1）与（2）中求φ的值是难点，考查运算求解能力，属于中档题．