Question

【题目】点为圆上一动点，轴于点，记线段的中点的运动轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）直线经过定点，且与曲线交于两点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）1

【解析】

（1）利用表示出，代入圆方程即可得到曲线方程；

（2）设直线方程为，代入椭圆方程得到韦达定理形式，利用弦长公式求得，利用点到直线距离公式求得原点到直线的距离，由可将所求面积表示为关于斜率的函数的形式，结合基本不等式求得函数的最小值，即为所求面积的最小值.

（1）设，，

为圆上一动点，轴于点，为的中点，，

则，代入得曲线的方程为：.

（2）由题意知：直线斜率存在，可设直线方程为：，

设，，

由消去得：，

由得：或，

，，

，

而原点到直线的距离为，

，（当且仅当，即时取等号），

的最大值为.