Question

4．（Ⅰ）证明：$\frac{sinα}{1+cosα}$=$\frac{1-cosα}{sinα}$．                            
（Ⅱ）已知圆的方程是x²+y²=r²，则经过圆上一点M（x₀，y₀）的切线方程为x₀x+y₀y=r²，类比上述性质，试写出椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1类似的性质．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用分析法进行证明；
（Ⅱ）经过圆上一点M（x₀，y₀）的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M（x₀，y₀）的横坐标与纵坐标替换．由此类比得到．

解答 （Ⅰ）证明：欲证$\frac{sinα}{1+cosα}=\frac{1-cosα}{sinα}$，
只需证sin²α=（1-cosα）（1+cosα），
即证sin²α=1-cos²α，
上式显然成立，故原等式成立． …5分
（Ⅱ）解：圆的性质中，经过圆上一点M（x₀，y₀）的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M（x₀，y₀）的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$类似的性质为：过椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$一点P（x₀，y₀）的切线方程为$\frac{{{x_0}x}}{a^2}+\frac{{{y_0}y}}{b^2}=1$．…10分．

点评 本题考查了三角函数恒等式的证明以及类比推理．