Question

12．如图，在△ABC中，AB=3$\sqrt{6}$，B=$\frac{π}{4}$，D是BC边上一点，且∠ADB=$\frac{π}{3}$．
（1）求AD的长；
（2）若CD=10，求AC的长及△ACD的面积．

Answer 1

分析 （1）在△ABD中，由正弦定理可得AD=$\frac{ABsinB}{sin∠ADB}$，即可求值．
（2）在△ADC中，由余弦定理可求AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}-2AD•CDcos∠ADC}$的值，由三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）在△ABD中，由正弦定理可得：AD=$\frac{ABsinB}{sin∠ADB}$=$\frac{3\sqrt{6}sin\frac{π}{4}}{sin\frac{π}{3}}$=6…6分
（2）在△ADC中，由余弦定理可得：AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}-2AD•CDcos∠ADC}$=$\sqrt{36+100+120cos∠ADB}$=14…12分
所以S_△ACD=$\frac{1}{2}AD•CDsin∠ADC$=$\frac{1}{2}×6×10sin\frac{2π}{3}$=15$\sqrt{3}$…14分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于基础题．