Question

9．若实数a，b，c，d满足$\frac{{a}^{2}-2lna}{b}$=$\frac{3c-4}{d}$=1，则$\sqrt{（a-c）^{2}+（b-d）^{2}}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{（1-ln2）\sqrt{10}}{5}$
• B． $\frac{（1+ln2）\sqrt{10}}{5}$
• C． $\frac{（3-ln2）\sqrt{10}}{5}$
• D． $\frac{（3+ln2）\sqrt{10}}{5}$

Answer 1

分析 由$\frac{{a}^{2}-2lna}{b}$=$\frac{3c-4}{d}$=1，可知点P（a，b）是曲线f（x）=x²-2lnx（x＞0）上的点，Q（c，d）是直线y=3x-4上的点，由导数的几何意义可知，过曲线y=x²-lnx上的点P（a，b）且与线y=3x-4平行时，|PQ|=$\sqrt{（a-c）^{2}+（b-d）^{2}}$的有最小值．

解答 解：∵$\frac{{a}^{2}-2lna}{b}$=$\frac{3c-4}{d}$=1，
∴点P（a，b）是曲线f（x）=x²-2lnx（x＞0）上的点，Q（c，d）是直线y=3x-4上的点，
∴|PQ|=$\sqrt{（a-c）^{2}+（b-d）^{2}}$
要使|PQ|最小，当且仅当过曲线y=x²-2lnx上的点P（a，b）且与y=3x-4平行时．
∵f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-2}{x}$（x＞0），
由f′（x）＞0得，x＞1；由f′（x）＜0得0＜x＜1．
∴当x=1时，f（x）取得极小值．
由$\frac{2{x}^{2}-2}{x}$=3，可得x=2（负值舍去）
∴点P（2，4-2ln2）到直线y=3x-4的距离为d=$\frac{|6-4+2ln2-4|}{\sqrt{1+{3}^{2}}}$=$\frac{（1-ln2）\sqrt{10}}{5}$，
故选：A．

点评 本题考查函数最值的应用，分析得到点P（a，b）是曲线y=x²-2lnx上的点，Q（c，d）是直线y=3x-4上的点，|PQ|=$\sqrt{（a-c）^{2}+（b-d）^{2}}$是关键，也是难点，考查理解题意与等价转化思想的综合应用，考查导数的几何意义及点到直线间的距离，属于难题．