Question

14．在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，∠BCA=90°，点E、F分别是A₁B₁、A₁C₁的中点，BC=CA=CC₁，则BE与AF所成的角的余弦值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{30}}{10}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{30}}{15}$
• D． $\frac{\sqrt{15}}{10}$

Answer 1

分析 建立空间坐标系得出$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$，a），$\overrightarrow{AF}$=（0，-$\frac{a}{2}$，a），运用向量的数量积cosθ=|$\frac{\overrightarrow{AF}•BE}{|\overrightarrow{AF}|•|\overrightarrow{BE}|}$|=$\frac{\sqrt{30}}{10}$，求解夹角即可．

解答 解：建立空间坐标系得出如图：

∵BC=CA=CC₁=a，
∴根据题目条件得出：B（a，0，0），A（0，a，0），B₁（a，0，a），A₁（0，a，a），C₁（0，0，a）
∵点E、F分别是A₁B₁、A₁C₁的中点，∴E（$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$，a），F（0，$\frac{a}{2}$，a），
∴$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$，a），$\overrightarrow{AF}$=（0，-$\frac{a}{2}$，a）
∵$\overrightarrow{AF}$$•\overrightarrow{BE}$=$\frac{3{a}^{2}}{4}$，|$\overrightarrow{BE}$|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，|$\overrightarrow{AF}$|=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
∴cosθ=|$\frac{\overrightarrow{AF}•BE}{|\overrightarrow{AF}|•|\overrightarrow{BE}|}$|=$\frac{\sqrt{30}}{10}$，
故选：A

点评 本题考查了异面直线所成的夹角、三角形的中位线定理、余弦定理、勾股定理等基础知识与基本技能方法，属于基础题