Question

4．设函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0，使|f（x）|≤m|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为F函数，给出下列函数：①f（x）=0；②f（x）=x²；③f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$；④f（x）=$\sqrt{2}$（sinx+cosx），其中是F函数的序号为①③．

Answer 1

分析 本题考查阅读题意的能力，根据F函数的定义进行判定：对于①f（x）=0，显然对任意常数m＞0，均成立；
对于②，f（x）=x²，|f（x）|＜m|x|，显然不成立；
对于③，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$，|f（x）|=$\frac{1}{{x}^{2}+x+1}$|x|≤$\frac{4}{3}$|x|，
故对任意的m＞$\frac{4}{3}$，都有|f（x）|＜m|x|成立；从而可得到正确结论；
对于④，f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$），x=0时，|f（x）|＜m|x|不成立．

解答 解：对于①f（x）=0，显然对任意常数m＞0，均成立，故f（x）为F函数；
对于②，|f（x）|＜m|x|，显然不成立，故其不是F函数；
对于③，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+x+1}$，|f（x）|=$\frac{1}{{x}^{2}+x+1}$|x|≤$\frac{4}{3}$|x|，
故对任意的m＞$\frac{4}{3}$，都有|f（x）|＜m|x|成立；故其是F函数；
对于④，f（x）=$\sqrt{2}$（sinx+cosx）=2sin（x+$\frac{π}{4}$），x=0时，|f（x）|＜m|x|不成立．
由于x=0时，|f（x）|＜m|x|不成立，故不是F函数．
故答案为：①③．

点评 本题的考点是函数恒成立问题，主要考查根据所给的新定义来验证函数是否满足定义中的规则，是函数知识的给定应用题，综合性较强，做题时要注意运用所深知识灵活变化进行证明，考查学生的阅读理解能力与分析问题解决问题的能力，