Question

12．已知数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{2}$n，则a_n=n-2+$\frac{3}{{2}^{n}}$，（n∈N^*）．

Answer 1

分析 a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{2}$n，可得a_n+1=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}{a}_{n-1}+\frac{n-1}{2}）+\frac{1}{2}n$=$（\frac{1}{2}）^{2}{a}_{n-1}+\frac{n-1}{{2}^{2}}+\frac{n}{2}$=…=$（\frac{1}{2}）^{n}{a}_{1}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{2}{{2}^{n-1}}$+…$\frac{n-1}{{2}^{2}}$+$\frac{n}{2}$，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{2}$n，
∴a_n+1=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}{a}_{n-1}+\frac{n-1}{2}）+\frac{1}{2}n$=$（\frac{1}{2}）^{2}{a}_{n-1}+\frac{n-1}{{2}^{2}}+\frac{n}{2}$=…=$（\frac{1}{2}）^{n}{a}_{1}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{2}{{2}^{n-1}}$+…$\frac{n-1}{{2}^{2}}$+$\frac{n}{2}$
=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{2}{{2}^{n-1}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{2}}$+$\frac{n}{2}$，
∴$\frac{1}{2}{a}_{n+1}$=$\frac{1}{{2}^{n+2}}+\frac{1}{{2}^{n+1}}$+$\frac{2}{{2}^{n}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{3}}$+$\frac{n}{{2}^{2}}$，
∴$-\frac{1}{2}{a}_{n+1}$=$\frac{1}{{2}^{n+2}}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+…+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{n}{2}$=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n+1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n}{2}$=$\frac{1}{2}-\frac{3}{{2}^{n+2}}$-$\frac{n}{2}$，
∴a_n+1=n-1+$\frac{3}{{2}^{n+1}}$，
当n≥2时，a_n=n-2+$\frac{3}{{2}^{n}}$，当n=1时也成立，
∴a_n=n-2+$\frac{3}{{2}^{n}}$，（n∈N^*）．

点评 本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．