Question

20．某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随年产值x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%．
（1）若某企业产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y=lgx+kx+5（k为常数）是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因（已知lg2≈0.3，lg5≈0.7）；
（2）若采用函数f（x）=$\frac{15x-a}{x+8}$作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．

Answer 1

分析 （1）根据公司要选择的函数模型所要满足的条件，逐一分析，即可得出结论；
（2）根据奖金y（单位：万元）随年产值x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%，确定a的范围，即可确定最小的正整数a的值．

解答 解：（1）对于函数模型y=lgx+kx+5 （ k 为常数 ），
x=100时，y=9，代入解得k=$\frac{1}{50}$，
所以y=lgx+$\frac{x}{50}$+5．
当x∈[50，500]时，y=lgx+$\frac{x}{50}$+5是增函数，但x=50时，f（50）=lg50+6＞7.5，即奖金不超过年产值的15%不成立，故该函数模型不符合要求；
（2）对于函数模型f（x）=$\frac{15x-a}{x+8}$=15-$\frac{120+a}{x+8}$
a为正整数，函数在[50，500]递增； f（x）_min=f（50）≥7，解得a≤344；
要使f（x）≤0.15x对x∈[50，500]恒成立，即a≥-0.15x²+13.8x对x∈[50，500]恒成立，
所以a≥315．
综上所述，315≤a≤344，
所以满足条件的最小的正整数a的值为315．

点评 本题主要考查函数模型的选择，其实质是考查函数的基本性质，同时，确定函数关系实质就是将文字语言转化为数学符号语言--数学化，再用数学方法定量计算得出所要求的结果，关键是理解题意，将变量的实际意义符号化．