Question

10．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x+3，x≤0}\\{|2-lnx|，x＞0}\end{array}\right.$，直线y=k与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，交点的横坐标依次记为a，b，c，d，则abcd的取值范围是[0，e⁴）．

Answer 1

分析 画出y=f（x）与y=k的图象，运用韦达定理和对数的运算性质，计算即可得到所求范围．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x+3，x≤0}\\{|2-lnx|，x＞0}\end{array}\right.$，的图象如下：
四个交点横坐标从小到大，依次记为a，b，c，d，
则a，b是x²+2x+k-3=0的两根，
由于x＜0时，
-x²-2x+3=4-（x+1）²≤4，
判别式为4-4（k-3）=4（4-k）＞0，
即有k＜4，
∴a+b=-2，ab=k-3＜1，
∴ab∈[0，1），
且lnc=2-k，lnd=2+k，
∴ln（cd）=4，∴cd=e⁴，
∴abcd∈[0，e⁴），
故答案为：[0，e⁴）．

点评 本题考查函数的图象，分段函数，零点与方程的根之间的关系，综合性较强．