Question

2．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且cosC+$\sqrt{3}$sinC=$\frac{b+c}{a}$．
（Ⅰ）求∠A的大小；
（Ⅱ）若b+c=5，且b＞c，a=$\sqrt{7}$，求$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据两角和差的正弦公式以及正弦定理进行化简即可，求∠A的大小；
（Ⅱ）根据向量的数量积公式进行化简求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$cosC+\sqrt{3}sinC=\frac{b+C}{a}$，
∴$sinAcosC+\sqrt{3}sinAsinC=sinB+sinC$，
∴$sinAcosC+\sqrt{3}sinAsinC=sin（A+C）+sinC$，
∴$\sqrt{3}sinAsinC=cosAsinC+sinC$，
∵sinC≠0，∴$\sqrt{3}sinA-cosA=1$，…（4分）
即$sin（A-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，∵A∈（0，π），
∴$A-\frac{π}{6}∈（-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，∴$A-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，∴$A=\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）∵$A=\frac{π}{3}$，$a=\sqrt{7}$，
余弦定理得：$7={b^2}+{c^2}-2bccosA={（b+c）^2}-2bc（1+cosA）=25-2bc×\frac{3}{2}$，
∴bc=6，
∵b+c=5，b＞c，∴b=3，c=2．…（8分）
∴$cosB=\frac{7+4-9}{{2×2\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{7}}}{14}$，…（10分）
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=2×\sqrt{7}×\frac{{\sqrt{7}}}{14}=1$．…（12分）

点评 本题主要考查解三角形和向量数量积的计算，根据正弦定理和两角和差的正弦公式是解决本题的关键．