Question

1．若（$\root{3}{x}$+$\frac{2}{x}$）ⁿ的展开式中第八项是含有$\root{3}{x}$的项．
（1）求n；
（2）求展开式中x⁷项的系数及二项式系数的和．

Answer 1

分析 （1）由条件利用二项展开式的通项公式求得展开式中第八项，再根据展开式中第八项是含有$\root{3}{x}$的项，求得n的值．
（2）在（$\root{3}{x}$+$\frac{2}{x}$）ⁿ的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于7，求得r的值，可得展开式中x⁷项的系数和；再根据及二项式系数的和为2ⁿ 得出结论．

解答 解：（1）根据（$\root{3}{x}$+$\frac{2}{x}$）ⁿ的展开式中第八项是T₉=${C}_{n}^{8}$•2⁸•${x}^{\frac{n-32}{3}}$，令$\frac{n-32}{3}$=$\frac{1}{3}$，求得n=33．
（2）（$\root{3}{x}$+$\frac{2}{x}$）ⁿ的展开式的通项公式为${C}_{33}^{r}$•2^r•${x}^{\frac{33-4r}{3}}$，令$\frac{33-4r}{3}$=7，求得r=3，故展开式中x⁷项的系数为${C}_{33}^{3}$•2³=43648．
二项式的系数和为2³³．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．