Question

6．已知函数f（x）=x-lnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[$\frac{1}{{e}^{2}}$，e]上的最大值．（其中e是自然数的底数）

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；
（2）由（1）可得f（x）在[$\frac{1}{{e}^{2}}$，1]递减，在（1，e]递增，即有f（x）在x=1处取得极小值，且为最小值，求得端点的函数值，比较即可得到最大值．

解答 解：（1）函数f（x）=x-lnx的导数为f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，x＞0，
由f′（x）＞0可得x＞1；由f′（x）＜0可得0＜x＜1．
即有f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；
（2）由（1）可得f（x）在[$\frac{1}{{e}^{2}}$，1]递减，在（1，e]上递增，
即有x=1处取得最小值f（1）=1，
由f（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=$\frac{1}{{e}^{2}}$+2，f（e）=e-1，
可得f（x）的最大值为$\frac{1}{{e}^{2}}$+2．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，正确求导是解题的关键．