Question

16．已知f（n）=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．经计算得f（4）＞2，f（8）＞$\frac{5}{2}$，f（16）＞3，f（32）＞$\frac{7}{2}$．
（Ⅰ）由上面数据，试猜想出一个一般性结论；
（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知，$f（{2^2}）＞2=\frac{2+2}{2}，f（{2^3}）＞\frac{5}{2}=\frac{3+2}{2}$，$f（{2^4}）＞3=\frac{4+2}{2}，f（{2^5}）＞\frac{7}{2}=\frac{5+2}{2}$．…由此得到一般性结论：$f（{2^{n+1}}）＞\frac{n+3}{2}$．
（Ⅱ）利用数学归纳法证明即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，$f（{2^2}）＞2=\frac{2+2}{2}，f（{2^3}）＞\frac{5}{2}=\frac{3+2}{2}$，$f（{2^4}）＞3=\frac{4+2}{2}，f（{2^5}）＞\frac{7}{2}=\frac{5+2}{2}$．…
由此得到一般性结论：$f（{2^{n+1}}）＞\frac{n+3}{2}$．（或者猜测$f（{2^n}）＞\frac{n+2}{2}（n≥2，n∈N）$也行）．
（Ⅱ）利用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，$f（{2^2}）=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{25}{12}＞\frac{4}{2}=\frac{1+3}{2}$，所以结论成立．
（2）假设n=k（k≥1，k∈N）时，结论成立，即$f（{2^{k+1}}）＞\frac{k+3}{2}$，
那么，n=k+1时，$f（{2^{k+2}}）=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{{{2^{k+1}}}}+\frac{1}{{{2^{k+1}}+1}}+\frac{1}{{{2^{k+1}}+2}}+…+\frac{1}{{{2^{k+2}}}}$$＞\frac{k+3}{2}+\frac{1}{{{2^{k+1}}+1}}+\frac{1}{{{2^{k+1}}+2}}+…+\frac{1}{{{2^{k+2}}}}$，
$＞\frac{k+3}{2}+\frac{1}{{{2^{k+2}}}}+\frac{1}{{{2^{k+2}}}}+…+\frac{1}{{{2^{k+2}}}}=\frac{k+3}{2}+\frac{{{2^{k+1}}}}{{{2^{k+2}}}}=\frac{k+1+3}{2}$．
所以当n=k+1时，结论也成立．
综上所述，上述结论对n≥1，n∈N都成立，所以猜想成立．

点评 本题考查了数学归纳法应用、不等式的性质，考查了观察分析猜想归纳能力与计算能力，属于中档题．